Cálculo Diferencial e Integral, Tomo II. – N. Piskunov – 3ra Edición

Capítulo XIII. ECUACIONES DIFERENCIALES

1. Planteamiento del problema
2. Definiciones
3. Ecuaciones diferenciales de primer orden (generalidades)
4. Ecuaciones de variables separadas y separables
5. Ecuaciones homogéneas de primer orden
6. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones homogéneas
7. Ecuaciones lineales de primer orden
8. Ecuación de Bernoulli
9. Ecuaciones en diferenciales totales
10. Factor integrante
11. Envolvente de una familia de curvas
12. Soluciones singulares de las ecuaciones diferenciales de primer orden
13. Ecuación de Clairaut
14. Ecuación de Lagrange
5 15. Trayectorias ortogonales e isogonales
16. Ecuaciones diferenciales de orden superior a uno (generalidades)
17. Ecuación de la forma y (exp n) = f(x)
18. Algunos tipos de ecuaciones diferenciales de segundo orden que se reducen a ecuaciones de primer orden
19. Método gráfico de integración de las ecuaciones diferenciales de segundo orden
20. Ecuaciones lineales homogéneas. Definiciones y propiedades generales
21. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
22. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de n-simo orden con coeficientes constantes
23. Ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden
24. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
25. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de orden n
26. Ecuación diferencial de las oscilaciones mecánicas
27. Oscilaciones libres
28. Oscilaciones forzadas
29. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
30. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
31. Nociones sobre la teoría de la estabilidad de Liapunov
32. Solución aproximada de las ecuaciones diferenciales de primer orden por el método de Euler
33. Solución aproximada de las ecuaciones diferenciales por el método de las diferencias, basado en el empleo de la fórmula de Tavlor. Método de Adams
34. Método aproximado de integración de los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden

Capítulo XIV. INTEGRALES MÚLTIPLES

1. Integral doble
2. Calculo de la integral doble
3. Cálculo de la integral doble (continuación)
4. Cálculo de áreas y volúmenes mediante integrales dobles
5. Integrales dobles en coordenadas polares
6. Cambio de variables en una integral doble (caso general)
7. Cálculo de áreas de superficies
8. Densidad de distribución de la materia e integral doble
9. Momento de inercia de una figura plana
10. Coordenadas del centro de gravedad de una figura plana
11. Integral triple
12. Cálculo de integrales triples
13. Cambio de variables en una integral triple
14. Momento de inercia y coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo
15. Cálculo de las integrales dependientes de un parámetro

Capítulo XV. INTEGRALES CURVILÍNEAS E INTEGRALES DE SUPERFICIE

1. Integral curvilínea
2. Cálculo de la int
egral curvilínea
3. Fórmula de Green
4. Condiciones para que una integral curvilínea no dependa del camino de integración
5. Integral de superficie
6. Cálculo de la integral de superficie
7. Fórmula de Stokes
8. Fórmula de Ostrogradski
9. Operador de Hamilton y algunas de sus aplicaciones

Capítulo XVI. SERIES

1. Serie. Suma de una serie
2. Condición necesaria de convergencia de una serie
3. Comparación de series de términos positivos
4. Criterio de d’Alembert
5. Criterio de Cauchy
6. Criterio integral de convergencia
7. Series alternadas. Teorema de Leibniz
8. Series de términos positivos y negativos. Convergencia absoluta y condicional
9. Series de funciones
10. Series mayorables
11. Continuidad de la suma de una serie
12. Integración y derivación de las series
13. Series de potencias. Intervalo de convergencia
14. Derivación de las series de potencias
15. Series de potencias de x — a
16. Series de Taylor y de Maclaurin
17. Ejemplos de desarrollo de funciones en series
18. Fórmula de Euler
19. Serie binomial
20. Desarrollo de la función ln (1 + x) en serie de potencias. Cálculo de logaritmos
21. Aplicación de las series al cálculo de integrales definidas
22. Aplicación de las series a la integración de ecuaciones diferenciales
23. Ecuación de Bessel

Capítulo XVII. SERIES DE FOURIER

1. Definición. Planteamiento del problema
2. Ejemplos de desarrollo de funciones en serie de Fourier
3. Una observación sobre el desarrollo de funciones periódicas en serie de Fourier
4. Series de Fourier de funciones pares e impares
5. Serie de Fourier de funciones de período 2 l
6. Desarrollo de una función no periódica en serie de Fourier
7. Aproximación en media de una función dada mediante polinomios trigonométricos
8. Integral de Dirichlet
9. Convergencia de una serie de Fourier en un punto dado
10. Algunas condiciones suficientes para la convergencia de una serie de Fourier
11. Análisis armónico numérico
12. Integral de Fourier
13. Integral de Fourier en forma compleja

Capítulo XVIII. APLICACIONES FÍSICAS

1. Tipos fundamentales de ecuaciones de la física matemática
2. Ecuación de las oscilaciones de una cuerda
3. Solución de la ecuación de vibraciones de una cuerda por el método de separación de las variables (método de Fourier)
4. Ecuación de difusión del calor de un vástago. Planteamiento del problema con condiciones de contorno
5. Difusión del calor en el espacio
6. Solución del primer problema de contorno para la ecuación de conducción del calor por el método de diferencias finitas
7. Difusión del calor en un vástago ilimitado
8. Problemas que conducen a la búsqueda de las soluciones de la ecuación de Laplace. Planteamiento de los problemas de contorno
9. Ecuación de Laplace en coordenadas cilindricas. Solución del problema de Dirichlet para un anillo circular con valores constantes de la función desconocida en las circunferencias interna y externa
10. Solución del problema de Dirichlet para un círculo
11. Solución del problema de Dirichlet por el método de diferencias finitas

Capítulo XIX. CÁLCULO OPERACIÓN AL Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES

1. Función inicial y su transformación
2. Transformadas de las funciones sigma{sub 0} , sen t, cos t
3. Transformada de la función con escala modificada de la variable independiente
4. Propiedad de linealidad de la transformada
5. Teorema del desplazamiento
6. Transformadas de las funciones e{exp (alfa t)} Sh {alfa t}, Ch exp {alfa t)} cos at
7. Derivación de la transformada
8. Recurrencia entre las derivadas
9. Tabla de transformadas
10. Aplicación de la transformada de Laplace a la resolución de una ecuación diferencial dada
11. Transformadas de fracciones racionales
12. Ejemplos de solución de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales por el método operacional
13. Teorema del plegamiento
14. Ecuaciones diferenciales de las oscilaciones mecánicas y ecuaciones diferenciales de la teoría de circuitos eléctricos
15. Solución de la ecuación diferencial de las oscilaciones
16. Estudio de las oscilaciones libres
17. Estudio de las oscilaciones mecánicas y eléctricas en caso de aplicación de una fuerza exteror periódica
18. Solución de la ecuación de las osiclaciones en el caso de resonancia
19. Teorema del retardo