Álgebra Lineal – Fernando Barrera Mora – 1ra Edición

Uno de los temas de matemáticas más populares del que se han escrito innumerables textos, es el álgebra lineal. Esto no es ninguna casualidad. El álgebra lineal aparece de manera natural en prácticamente todas las disciplinas, tanto de matemáticas como de otras ciencias, inclusive en las ciencias sociales y humanidades, teniendo presencia signifi cativa en las áreas de ingeniería y no digamos la física. Desde nuestros primeros estudios, digamos a nivel secundaria, el álgebra lineal se estudia, aunque no se use con ese nombre, para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Debido a lo anterior, cuando un nuevo texto relacionado con el álgebra lineal aparece en el mercado, uno se pregunta qué puede aportar que no haya sido presentado y estudiado hasta la saciedad en algunos de los innumerables textos que ya existen. El libro de Fernando Barrera Mora está dedicado al álgebra lineal para un primer curso de licenciatura en matemáticas, ingeniería y áreas afi nes.

El primer punto que me gustaría hacer notar es que el libro privilegia el empezar con problemas concretos que se nos presentan tanto en nuestra vida cotidiana, como en economía, empresas productivas, etcétera.

A partir de estos problemas concretos se empieza a elaborar sobre los ingredientes presentes, que facilitan la visualización del estudiante sobre estos componentes cuando son planteados de manera general.

Asimismo, estos problemas concretos que se estudian sirven para establecer tanto los métodos como la teoría necesaria, ya sea para resolverlos, estudiarlos o ubicarlos en un contexto más general. Un punto de vista valioso a resaltar en este trabajo es el tratamiento que se hace de lo que podríamos llamar la “teoría propia”, esto es, la teoría que trata sobre los valores y los vectores propios.

Lo más común para abordar la solución y estudio de los valores y vectores propios es el estudio de la matriz característica, es decir, encontrar los valores para los cuales esta matriz es singular, lo cual nos lleva inmediatamente al cálculo del determinante y por tanto al polinomio característico. Aunque el análisis de los determinantes es indispensable en el estudio del álgebra lineal, el presentar un estudio exhaustivo de sus propiedades básicas es un problema ya sea laborioso o poco claro, dependiendo del enfoque que seleccionemos.

En este trabajo se selecciona un camino diferente. Se hace énfasis en propiedades inherentes a la matriz que dan origen al problema en estudio. Más precisamente, se estudia el operador asociado a la matriz, respecto a otra base seleccionada adecuadamente, además de la ventaja natural que se tiene al estudiar, de manera intrínseca, al operador. De este modo, se tiene que se hace una presentación sin ninguna necesidad de hacer referencia a los determinantes. Hay varias otras novedades que diferencian este texto de otros. Por ejemplo, en este trabajo se hace interactuar el álgebra lineal con la geometría analítica; se introducen y se trabajan subespacios sin haber siquiera defi nido formalmente lo que es un espacio vectorial; hay varias demostraciones novedosas o poco conocidas como por ejemplo la de la existencia del operador adjunto o que cualquier sistema linealmente independiente tiene cardinalidad menor o igual a la cardinalidad de un conjunto de generadores; se construye la base teórica necesaria a partir del espacio dos dimensional, se pasa

al tres dimensional y fi nalmente a cualquier espacio fi nito dimensional; se presenta un algoritmo para el cálculo del polinomio mínimo de una matriz. Otros aspectos dignos de mencionar son la forma en que se motiva el producto de matrices, el cual se deriva a partir de un ejemplo concreto sobre producción y que se encuentran varios ejercicios ya sea originales o poco comunes en otros textos. Un punto fi nal que es necesario enfatizar es que, como se mencionó al principio, el álgebra lineal es de mucha importancia en todo currículum de ciencias y de ingeniería e inclusive de otras áreas.

Esta importancia se encuentra en la mente del autor a lo largo de este libro, lo cual se puede percibir por la concepción del álgebra lineal que se presenta durante todo el tratado.